Problemas de Contorno

 

        Ejemplo 1


 

 

 


 

60 si 0 < x < 50

50 si 50 < x < 100

 

 

 

        Una de las maneras de resolver este tipo de problemas consiste en plantear la funcion dependiente de dos variables como el productu de dos funciones dependientes cada una de una variable (Variables Separables).

 

Es decir:

 

        Entonces la Ecuacion del problema queda:

 

 

Y separando Variables Obtenemos:

 

(Notamos que si Es Cte. Significa que las variables pueden ser separadas ya que

cada uno de los cocientes puede variar en forma independiente)

 

        Si el metodo es correcto solo queda evaluar los posibles casos del coeficiente. Para ello separamos en dos ecuaciones diferenciales.

 

 


1 2

        Se entiende que es la condicion =0 habiendo aplicado separacion de variables con lo cual queda por lo tanto si para cualquier t da 0 entonces

 

 

        Evaluamos los casos Posibles del parametro resolviendo la ecuacion diferencial 1 en cada uno de los casos

 

 

Si < 0

 


Dado que la unica solucion es la trivial

 

 

 

Si = 0

 


Es posible el valor 0

 

 

 

Si > 0

 


 

 

 


 

 

 

 

        De la Ecuacion 2 tenemos:

 

La solucion de esta ecuacion diferencial de 1 Orden sera:

 


 

 

 

 

        Recordando que: Escribimos El Producto de las respectivas ecuaciones donde de fusionan las constrandes En un unico Kn

 

 


 

 

        Notese que Un(x,t) solo representa uno de los infinitos valores de la funcion para un solo valor de n, por lo cual la solucion correcta sera


 

 


 

 

        Ahora solo queda determinar el termino Kn para lo cual utilizaremos la condicion de contorno que nos queda.

 

En esta condicion nos dicen que y reenplazando en la U(x,t) hallada se obtiene:

 

 

Si Observamos esta ultima expresion veremos que Kn es el coeficiente del desarrollo en serie de fourier en senos de la funcion f(x). Y lo hallamos como tal.