Puntos teóricos típicos de un final de Análisis III

· Teorema de Taylor. Enunciado y demostración.

· Definición de transformación Conforme. Demostrar condiciones suficientes para que la trasformación sea conforme.

· Transformada de Laplace. Enunciado, Condiciones de existencia.

· Teorema de los residuos. Definición de residuo.

· Demostrar T.L. de una función periódica.

· T.L. demostrar teorema de desplazamiento en el tiempo y la frecuencia. (a veces lo mismo para Fourier)

· T.L. demostrar teorema de la convolución(a veces lo mismo para Fourier)

· T.L. demostrar transformada de las derivadas y de las integrales (a veces lo mismo para Fourier)

· Condiciones por las cuales una intefral compleja no depende del camino de integración. (Teorema de Cauchy)

· Espectro de Fourier de una función contínua.

· Integral y tranformada de Fourier. Condiciones de existencia.

¿Verdadero o Falso?

· Toda función acotada admite transformada de Laplace.

R: No, La condición SUFICIENTE es que sea ACOTADA y de ORDEN EXPONENCIAL

· La serie de Fourier converge cuadráticamente si y solo si es válida la identidad de Parseval.

R: Si.

· F(z)= å an (Z – Z0)^n ó an = F^(n) (Zo) / n!

R: No, La fórmula de an es la de la serie de Taylor, que es única. Pero hay infinitas series que pueden representar a la función.

· La integral curvilínea sobre un lazo cerrado de f(z). dz = 0, entonces la función es analítica sobre y en el interior del lazo.

R: No, Puede dar cero y no ser analítica, puede tener singularidades con residuo nulo, o ser solo continua en el lazo y analítica en él, etc.

· El método de Frobenius puede ser empleado para resolver cualquier ecuación diferencial de la forma:

y´´ + P(x) Y´+ Q(x) Y = 0 en V(0)

R: No, tiene que cumplirse que P(x) tenga a lo sumo un polo simple, y Q(x) tenga a lo sumo un polo doble.

· Una función de orden exponencial admite T.L.

R: No, debe ser además seccionalmente continua.

· La derivada enésima de una función armónica es también armónica.

R:

· La identidad de Parseval para una función ortonormal es válida.

R: No, además tiene que ser completo el sistema.

· La función f(z) = z al cubo + z al cuadrado define una trasformación conforme en ôz - iô < 2

R: No, porque hay un punto donde f´(z) = 0

· Las derivadas de una función analítica ¿son analíticas?

R: Si, por corolario de la integral de Cauchy.

· La transformada de Laplace de un producto de funciones es el producto de las transformadas.

R: No, es la convolución.

Otras preguntas de V 0 F, para ir desarrollando.

· Integral curvilínea de z . sen (1/z) dz = 0 en |z|=1

· F(z) = 1/(1+e a la z) admite desarrollo en serie de Taylor en |z|=4

· F(t) = (e a la t – cos (t))/t admite T.L.

· Conjugado de cos(z) = cos (conjugado de z)

· T a la t es de orden exponencial

· 1/t admite desarrollo de Fourier

· si f(z) tiene un polo en a entonces Res [f(z), z=a]¹ 0

· La función |z|² no admite desarrollo de Taylor.

Notas:

Generalmente hay que tener bien (BIEN) todo un punto teórico y todo un práctico.

De los prácticos generalmente toman:

· Una ecuación diferencial, para resolver por LAPLACE (de cabeza)

· Hallar el espectro de una función continua (o viceversa)

· Una ecuación diferencial para resolver por FROBENIUS (ojo: suelen tener raices dobles, lo que complica la resolución)

· Una transformación conforme. Determinar la ecuación del potencial.

· Un problema de contorno. (de vez en cuando, pero si lo toman... agrarrate)