Puntos teóricos típicos de un  final de Análisis III

 

 

·        Teorema de Taylor. Enunciado y demostración.

·        Definición de transformación Conforme. Demostrar condiciones suficientes para que la trasformación sea conforme.

·        Transformada de Laplace. Enunciado, Condiciones de existencia.

·        Teorema de los residuos. Definición de residuo.

·        Demostrar T.L. de una función periódica.

·        T.L. demostrar teorema de desplazamiento en el tiempo y la frecuencia. (a veces lo mismo para Fourier)

·        T.L. demostrar teorema de la convolución(a veces lo mismo para Fourier)

·        T.L. demostrar transformada de las derivadas y de las integrales (a veces lo mismo para Fourier)

·        Condiciones por las cuales una intefral compleja no depende del camino de integración. (Teorema de Cauchy)

·        Espectro de Fourier de una función contínua.

·        Integral y tranformada de Fourier. Condiciones de existencia.

 

 

¿Verdadero o Falso?

 

 

·        Toda función acotada admite transformada de Laplace.

R: No, La condición SUFICIENTE es que sea ACOTADA y de ORDEN EXPONENCIAL

 

·        La serie de Fourier converge cuadráticamente si y solo si es válida la identidad de Parseval.

R: Si.

 

·        F(z)= å an (Z – Z0)^n ó an =  F^(n) (Zo) / n!

R: No, La fórmula de an es la de la serie de Taylor, que es única. Pero hay infinitas series que pueden representar a la función.

 

·        La integral curvilínea sobre un lazo cerrado de f(z). dz = 0, entonces la función es analítica sobre y en el interior del lazo.

R: No, Puede dar cero y no ser analítica, puede tener singularidades con residuo nulo, o ser solo continua en el lazo y analítica en él, etc.

 

·        El método de Frobenius puede ser empleado para resolver cualquier ecuación diferencial de la forma:

y´´ + P(x) Y´+ Q(x) Y = 0 en V(0)

R: No, tiene que cumplirse que P(x) tenga a lo sumo un polo simple, y Q(x) tenga a lo sumo un polo doble.

 

 

·        Una función de orden exponencial admite T.L.

R: No, debe ser además seccionalmente continua.

 

·        La derivada enésima de una función armónica es también armónica.

R:

 

·        La identidad de Parseval para una función ortonormal es válida.

R: No, además tiene que ser completo el sistema.

 

·        La función f(z) = z al cubo + z al cuadrado define una trasformación conforme en ôz - iô < 2

R: No, porque hay un punto donde f´(z) = 0

 

·        Las derivadas de una función analítica ¿son analíticas?

R: Si, por corolario de la integral de Cauchy.

 

·        La transformada de Laplace de un producto de funciones es el producto de las transformadas.

R: No, es la convolución.

 

 

Otras preguntas de V 0 F, para ir desarrollando.

 

·        Integral curvilínea de  z . sen (1/z) dz = 0  en |z|=1

·        F(z) = 1/(1+e a la z)  admite desarrollo en serie de Taylor en |z|=4

·        F(t) = (e a la t – cos (t))/t   admite T.L.

·        Conjugado de cos(z) = cos (conjugado de z)

·        T a la t es de orden exponencial

·        1/t admite desarrollo de Fourier

·        si f(z) tiene un polo en a entonces Res [f(z), z=a]¹ 0

·        La función |z|² no admite desarrollo de Taylor.

 

 

Notas:

 

Generalmente hay que tener bien (BIEN) todo un punto teórico y todo un práctico.

 

De los prácticos generalmente toman:

 

·        Una ecuación diferencial, para resolver por LAPLACE (de cabeza)

·        Hallar el espectro de una función continua (o viceversa)

·        Una ecuación diferencial para resolver por FROBENIUS (ojo: suelen tener raices dobles, lo que complica la resolución)

·        Una transformación conforme. Determinar la ecuación del potencial.

·        Un problema de contorno. (de vez en cuando, pero si lo toman... agrarrate)